Найдите катет прямоугольного треугольника лежащий против угла 60 градусов если его гипотенуза равна 8 м

Дано:

прямоугольный треугольник АВС;

угол С = 90 градусов;

угол В = 60 градусов;

АВ - гипотенуза,

АВ = 8 метров.

Найти длину катета АС - ?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.

Угол А = 180 - угол В - угол С;

угол А = 180 - 60 - 90;

угол А = 60 градусов.

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы. Тогда ВС = 1/2 * АВ = 1/2 * 8 = 4 (метров).

По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АС^2 + ВС^2 = АВ^2;

АС^2 = АВ^2 - ВС^2;

АС^2 = 64 - 16;

АС^2 = 48;

АС = 4√3 метров.

Ответ: 4√3 метров.

Нам необходимо найти длину катета лежащего напротив угла в 60^о.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник abc в котором:

о, то есть данный угол является прямым; о; так как сумма всех углов треугольника равняется 180^о следовательно величина угла о - о - 90^о - 60^о = 30^о ; стороны ab и ac - являются катетами данного треугольника; bc соответственно гипотенуза прямоугольного треугольника.

Исходя из условия нам необходимо найти катет лежащий напротив угла в 60^о следовательно длину катета ac.

Решение данной задачи мы можем провести двумя методами:

1.

Через теорему синусов

Теорема синусов гласит о том, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов.

Согласно условию нашей задачи данная теорему будет иметь следующий вид:

ac / sin b = bc / sin a

Исходя из условия задачи нам известно, что длина гипотенузы данного прямоугольного треугольника составляет bc = 8 м. Так же мы знаем градусные величины всех углов.

Следовательно мы получаем, что:

ac = (bc / sin a) * sin b = (8 / sin 90^о) * sin 60^о = (8 / 1) * (sqrt 3) / 2 = 8 * (sqrt 3) / 2 = 8 / 2 * (sqrt 3) = 4 * sqrt 3 м

2.

Через теорему Пифагора

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла <с = 30^о равен половине длины гипотенузы. Следовательно:

ab = 1/2 * bc = 1/2 * 8 = 4 м

Тогда по теореме Пифагора мы знаем, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

bc² = ab² + ac²

Тогда: ac² = bc² - ab² = > ac = sqrt (bc² - ab²) = sqrt (8² - 4²) = sqrt (64 - 16) = sqrt 48 = 4 * sqrt 3 м

Ответ: 4 * sqrt 3 м