Найдите длину окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой С и острым углом а.

Обозначим треугольник как АВD, угол А - прямой, угол D равен а, тогда угол В равен (90 - а).

Тогда по теореме синусов:

X = АВ = С*sina.

Y = AD = C*sin (90-a) = C*cosa.

Длина окружности равна:

Р = 2*π*r.

Найдём радиус окружности.

Площадь треугольника через радиус:

S = r*p, r - радиус, р - полупериметр.

r = S/p.

С другой стороны

S = (p * (p-X) * (p-Y) * (p-C)) ^ (1/2),

p = (X+Y+C) / 2 = (С*sina + С*cosa + C) / 2 = C/2 * (sina+cosa+1).

p - C = C/2 * (cosa + sina - 1);

p - X = C/2 * (1 + cosa - sina);

p - Y = C/2 * (1 + sina - cosa) = C/2 * (1 - (cosa - sina));

p * (p-X) * (p-Y) * (p-C) = C^4/16 * (sina+cosa+1) * (cosa + sina - 1) * (1 + cosa - sina) * 1 - (cosa - sina) = (C^4 / 16) * ((sina+cosa) ^2 - 1) * (1 - (cosa - sina) ^2) = (C^4 / 16) * (sin^2 a + cos^2 a + 2cosa*sina - 1) * (1 - cos^2 a + 2cosa*sina - sin^2 a) = (C^4 / 16 * 2cosa*sina * 2cosa*sina = (C^4 / 16) * (2cosa*sina) ^2;

S = (C^4 / 16 * (2cosa*sina) ^2) ^ (1/2) = (C^2 / 4) * 2cosa*sina = (C^2*cosa*sina) / 2,

r = S/p = ((C^2*cosa*sina) / 2) / C/2 * (sina+cosa+1) = C * cosa*sina / (sina+cosa+1).

Таким образом, длина окружности равна:

Р = 2*π*r = 2*π * C * cosa*sina / (sina+cosa+1) = π * C * sin2a / (sina+cosa+1).