Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен 15/17. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие - на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Обозначим равнобедренный треугольник АВС, прямоугольник NLTK, N и K лежат на АС.

Пусть АN = KC = x, NK = b = 2a (по условию), тогда распишем АС как:

AC = 2*x + 2*a.

По условию, АС = 40, значит

2*x + 2*a = 40,

х + а = 20.

Найдём отрезок х = AN.

Для этого рассмотрим подобные треугольники ALN и ABD, где BD - биссектриса (в равнобедренном так же высота и медиана).

По условию, α = arcsin 15/17

Тогда угол L равен углу α/2, то есть:

Угол L = угол α/2 = (arcsin (15/17)) / 2.

Значит,

AN = NL * tgL, где NL = a - меньшая сторона прямоугольника.

AN = x = a * tg ((arcsin (15/17)) / 2).

Таким образом, получили систему уравнений:

х + а = 20;

x = a * tg ((arcsin (15/17)) / 2).

Отсюда,

a * (tg ((arcsin (15/17)) / 2) + 1) = 20,

a = 20 / (tg ((arcsin (15/17)) / 2) + 1).

Площадь прямоугольника:

S = a*b = 2*a^2.

tg ((arcsin (15/17)) / 2) = 0.0087.

a = 20 / (1+0.0087) ≈ 19.83

Значит, площадь прямоугольника равна S = 2*a^2 = 786.4578 ≈786.46.