Диагонали ромба относятся как 3:4, а сторона равна 50 см. Найти диагонали ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам:

АО = ОС = АС / 2;

ВО = ОД = ВД / 2.

Рассмотрим треугольник АВО. За теоремой Пифагора можно найти отрезки ВО и АО:

АВ² = АО² + ВО².

Так как диагонали ромба относятся как 3:4, то отрезки АО и ВО будут равны половине от этой длины и относится как: (3/2) : (4/2) = 1,5:2. Таким образом, выразим отрезки АО и ВО так:

1,5 х - длина отрезка АО;

2 х - длина отрезка ВО;

(1,5 х) ² + (2 х) ² = 50²;

2,25 х² + 4 х² = 2500;

6,25 х² = 2500;

х² = 2500 / 6,25 = 400;

х = √400 = 20;

АО = 1,5 · 20 = 30 см;

ВО = 2 · 20 = 40 см.

АС = АО · 2;

АС = 30 · 2 = 60 см;

ВД = ВО · 2;

ВД = 40 · 2 = 80 см.

Ответ: диагонали ромба равны 60 см и 80 см.

Для ответа на поставленный в задаче вопрос воспользуемся тем, что:

диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам; все стороны ромба равны. Составляем уравнение для нахождение диагоналей ромба

Для того, чтобы упростить решение данной задачи выберем в качестве неизвестного х одну третью часть длины меньшей диагонали ромба, выраженную в сантиметрах.

Тогда длина меньшей диагонали этого ромба будет равна 3 х см.

Выразим через х длину большей диагонали этого ромба.

В условии задачи сказано, что длины диагоналей ромба относятся как 3:4, следовательно, длина большей диагонали этого ромба будет составлять 4 х см.

Тогда половина длины меньшей диагонали этого ромба будет равна 3 х / 2 = 1.5 х см, а половина длины большей диагонали этого ромба будет равна 4 х / 2 = 2 х см.

Своими диагоналями ромб делится на 4 равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых катеты равны половинам диагоналей ромба а гипотенуза равна стороне ромба.

Рассмотри один из таких треугольников. Используя теорему Пифагора, получаем следующее уравнение:

(1.5 х) ^2 + (2 х) ^2 = 50^2.

Решаем уравнение и находим диагонали ромба

2.25 х^2 + 4x^2 = 2500.

Приводим подобные слагаемые в левой части полученного уравнения:

6.25x^2 = 2500.

Разделим обе части уравнения на 6.25:

6.25x^2 / 6.25 = 2500 / 6.25;

x^2 = 400;

x^2 = 20^2;

х = 20 см.

Зная х, находим длины меньшей и большей диагоналей данного ромба:

3 х = 3 * 20 = 60 см;

4 х = 4 * 20 = 80 см.

Ответ: длины диагоналей данного ромба составляют 60 см и 80 см.