признаки средней линии треугольника

1) Если в треугольнике ABC точка M - середина стороны AB, а точка N принадлежит стороне BC, и при этом MN∥AC, то MN - средняя линия.

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим △ABC, в котором M - середина AB, N лежит на стороне BC, MN∥AC.

Докажем, что MN - средняя линия.

Выберем на прямой MN за точкой N такую точку D, что MD=AC.

Тогда AMDC - параллелограмм (AC=MD, AC∥MD).

Следовательно, ∠B=∠3,∠1=∠2, так как AM∥CD.

Кроме того AM=DC, как противоположные стороны параллелограмма.

2) Если в треугольнике ABC точки M и N принадлежат сторонам AB и CB соответственно, при этом MN∥AC и 2|MN|=|AC|, то MN - средняя линия.