В треугольнике MPK: PK=2. На стороне MK отмечена точка A так, что MA=AP=√3, AK=1. Найдите угол MPK.

По теореме косинусов:

РА2 = РК2 + АК2 - 2 * РК * АК * cos PKA;

cos PKA = (РК2 + АК2 - РА2) / 2 * РК * АК = (4 + 1 - 3) / (2 * 2 * 1) = 2 / 4 = 1 / 2;

угол РКА = arccos (1 / 2) = 60°;

РК2 = РА2 + АК2 - 2 * РА * АК * cos PАК;

cos PАК = (РА2 + АК2 - РК2) / 2 * РА * АК = (3 + 1 - 4) / (2 * √3 * 1) = 0;

угол РАК = arccos 0 = 90°.

Углы РАК и РАМ смежные, их сумма равна 180°, значит угол РАМ = 180 - угол РАК = 180° - 90° = 90°.

В треугольнике МРА стороны АМ и РА равны, следовательно он равнобедренный с основанием МР, углы при основании равны, отсюда: угол АМР = угол МРА = (180° - угол РАМ) / 2 = 45°.

Зная величину углов РКА и АМР, можем найти угол МРК:

угол МРК = 180° - 60° - 45° = 75°.