Если диагональ куба равна 3 ед, то ребро куба равно

Пусть нам дан куб ABCDA₁B₁C₁D_1. Обозначим его сторону через a. По условию задачи, диагональ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3 ед.

Требуется вычислить длину а стороны куба.

Диагональ куба

У куба все ребра равны, нижним основанием ABCD и верхним основанием A₁B₁C₁D₁ являются квадраты со стороной а, и боковые ребра AA₁; BB₁; CC₁; DD₁ также равны а.

Диагональю куба называют отрезок, связывающий вершину нижнего основания с противолежащей вершиной верхнего основания, не принадлежащие одной грани. Иначе говоря, это должны быть такие вершины, чтобы отрезок полностью находился внутри куба.

Соответственно, у куба четыре диагонали:

AC₁; BD₁; CA₁; DB₁;

Возьмем любой из прямоугольных треугольников, гипотенузой которого является диагональ куба, а катетами - боковое ребро и диагональ основания, например, треугольник AСC_1. В этом треугольнике диагональ куба AC₁ является гипотенузой, боковое ребро СC₁ и диагональ основания АС - катетами. Все такие треугольники равны друг другу по двум катетам и прямому углу между ними.

Для решения задачи необходимо:

вычислить диагональ основания АС; выразить диагонали куб AC₁ через сторону куба; приравнять известной по условию задачи величине и найти сторону куба. Вычисление стороны куба

Из треугольника АВС:

|АС|^2 = |АВ|^2 + |ВС|^2 = а^2 + а^2 = 2 * а^2;

Из треугольника AСC₁:

|АС₁|^2 = |АС|^2 + |СС₁|^2 = 2 * а^2 + а^2 = 3 * а^2;

Далее:

а^2 = |АС₁|^2 / 3;

а = |АС1| / √3;

Подставляя исходное значение, получаем:

а = 3 / √3 = √3 (ед);

Ответ: сторона куба равна √3 ед.

Обозначим диагональ куба ВС и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (см. рис)

Пусть АВ = х ед.

Пользуясь теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников, составим уравнение:

АВ^2 + АС^2 = ВС^2 (*)

Найдем длину АС

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ADC

Т. к. у куба все ребра равны, то AD = AC = AB = х ед.

По теореме Пифагора

АD^2 + DС^2 = AС^2

или

x^2 + x^2 = AС^2

Получаем

AС^2 = 2x^2

Подставляем значение AC^2 в (*), получаем

x^2 + 2x^2 = 3^2

3x^2 = 9

x^2 = 3

x = √3

Ответ: √3 ед.