Y = (tgx) в степени (ctgx) найти производную

Найдём производную данной функции: y = tg^ (ctg x) (x).

Воспользовавшись формулами:

(tg x) ' = 1 / (cos ^2 (x)) (производная основной элементарной функции).

(ctg x) ' = 1 / (sin ^2 (x)) (производная основной элементарной функции).

(a ^ x) ' = a ^ x * ln a (производная основной элементарной функции).

(uv) ' = u ' v + uv ' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y ' = f ' u (u) * g ' x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (tg^ (ctg x) (x)) ' = (ctg x) ' * (tg^ (ctg x) (x)) ' = (1 / (sin^2 (x))) * tg ^ x * ln tg x = (tg ^ x * ln tg x) / (sin^2 (x)).

Ответ : y' = (tg ^ x * ln tg x) / (sin^2 (x)).