Найдите наибольшее значение функции f (x) = 3cos^2x-2sinx+1

1. Преобразуем функцию:

f (x) = 3cos^2 (x) - 2sinx + 1;

f (x) = 3 (1 - sin^2 (x)) - 2sinx + 1;

f (x) = 3 - 3sin^2 (x) - 2sinx + 1;

f (x) = - 3sin^2 (x) - 2sinx + 4.

2. Обозначим:

y = sinx, тогда получим:

g (y) = - 3y^2 - 2y + 4;

g' (y) = - 6y - 2 = 0;

6y = - 2;

y = - 1/3, точка максимума, т. к. ветви параболы направлены вниз.

3. Наибольшему значению функция g (y), стало быть, и f (x), достигает при y = sinx = - 1/3:

g (max) = g (-1/3);

g (max) = - 3 * (-1/3) ^2 - 2 * (-1/3) + 4;

g (max) = - 3 * 1/9 + 2/3 + 4;

g (max) = - 1/3 + 2/3 + 4 = 4 1/3.

Ответ: 4 1/3.