Найти значения производной в указанной точке y = (x+2) sin x, x0=0

Найдём производную данной функции: y = (x + 2) * sin x.

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = ((x + 2) * sin x) ' = (x + 2) ' * (sin x) + (x + 2) * (sin x) ' = ((x) ' + (2) ') * (sin x) + (x + 2) * (sin x) ' = (1 + 0) * (sin x) + (x + 2) * (cos x) = (sin x) + (x + 2) * (cos x).

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

y' (0) = (sin 0) + (0 + 2) * (cos 0) = 0 + 2 * 1 = 2.

Ответ: y' = (sin x) + (x + 2) * (cos x), a y' (0) = 2.