Некоторое натуральное число AA поделили с остатком на 3, 12 и на 18. Сумма этих трех остатков оказалась равна 21. Найдите остаток от деления числа AA на 3.

1. Пусть:

A = 3k1 + r1, r1: 0 - 2; A = 6k2 + r2, r2: 0 - 5; A = 12k3 + r3, r3: 0 - 11; A = 18k4 + r4, r4: 0 - 17.

Тогда:

r2 = 3l2 + r1, l2 = 0, 1; r3 = 6l3 + r2, l3 = 0, 1; r4 = 6l4 + r2, l4 = 0, 1, 2. A = 6k2 + 3l2 + r1; A = 12k3 + 6l3 + r2; A = 18k4 + 6l4 + r2.

2. По условию задачи:

r1 + r3 + r4 = 21; r1 + 6l3 + r2 + 6l4 + r2 = 21; r1 + 2r2 + 6l3 + 6l4 = 21; r1 + 2 (3l2 + r1) + 6l3 + 6l4 = 21; r1 + 6l2 + 2r1 + 6l3 + 6l4 = 21; 3r1 + 6 (l2 + l3 + l4) = 21; r1 + 2 (l2 + l3 + l4) = 7. (1)

3. Из уравнения (1) следует, что r1 - нечетное число, следовательно:

r1 = 1.

Ответ: 1.