Найдите cos (п/4+x) если tg (5 п/2-x) = -√2 x принадлежит (п/2; п)

Найдем cos (п/4 + x), если tg (5 п/2 - x) = - √2 и x принадлежит (п/2; п).

Для tg (5π/2 - x) используем формулу приведения для тригонометрических функций:

tg (5π/2 - x) = ctgx = - √2.

Воспользуемся формулой ctg²x + 1 = 1/sin²x и найдем sinx:

sin²x = 1 / (1+ctg²x) = 1 / (1 + 2) = 1/3 → sinx = 1/√3.

Из основного тригонометрического тождества sin²x + cos²x = 1 найдем cosx:

cosx = - √ (1 - sin²x) = - √ (1 - 1/3) = - √6/3.

Разложим cos (π/4 + x) формулой сложения аргументов:

cos (α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

cos (π/4 + x) = cosπ/4 * cosx - sinπ/4 * sinx = √2/2 * (-√6/3) - √2/2 * √3/3 =

= √2/2 * (-√6/3 - √3/3) = - √6/6 * (√2 + 1).