Доказать, что Сумма кубов первых "n" натуральных чисел равна " (n² (n+1) ²) / 4

Для доказательства применим метод математической индукции.

1) проверим равенство при n = 1, получим 1^3 = 1^2 * (1 + 1) ^2/4 = 1 * 4/4 = 1. Верное равенство.

2) По методу индукции предположи, что:

1^3 + ... + k^3 = k^2 * (k + 1) ^2/4. верное равенство. (1)

3) Докажем, что при n = k + 1 равенство (1) тоже соблюдается. 1^3 + k^3 + (k + 1) ^3 = (k + 1) ^2 * (k + 2) ^2/4 (2).

Вычтем из (2) - (1), получим:

(k + 1) ^3 = (k + 1) ^2 * (k + 2) ^2/4 - k^2 * (k + 1) ^2/4 = (k + 1) ^2/4[ (k + 2) ^2 - k^2] = (k + 1) ^2/4[ (k^2 + 4 * k + 4 - k^2] = 9K = 1) ^3 * 4/4 = (k + 1) ^3. Доказано.