Пять дробей с числителями 1 и различными натуральными знаменателями дают в сумме 1. Найти эти дроби.

1. Пусть m, n, p, q, r - знаменатели дробей в порядке возрастания:

m < n < p < q < r.

Тогда:

1/m + 1/n + 1/p + 1/q + 1/r = 1.

2. Подберем наименьшие значения чисел, начиная с m:

1) m = 2; n = 3; p = 4;

1/2 + 1/3 + 1/4 = (6 + 4 + 3) / 12 = 13/12 > 1 - не подходит.

2) m = 2; n = 3; p = 5;

1/2 + 1/3 + 1/5 = (15 + 10 + 6) / 30 = 31/12 > 1 - не подходит.

3) m = 2; n = 3; p = 6;

1/2 + 1/3 + 1/6 = (3 + 2 + 1) / 6 = 6/6 = 1 - не подходит.

4) m = 2; n = 3; p = 6;

1/2 + 1/3 + 1/7 = (21 + 14 + 6) / 42 = 41/42 = 1 - 1/42.

3. Для q и r подойдут значения:

q = 63; r = 126; 1/q + 1/r = 1/63 + 1/126 = 3/126 = 1/42; 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/63 + 1/126 = 1.