Уравнение: 2cos^2x+5sinx-4=0

Заменим cos^2 x. Из основного тригонометрического тождества sin^2 x + cos^2 x = 1, имеем cos^2 x = 1 - sin^2 x.

2 (1 - sin^2 x) + 5sin x - 4 = 0;

2 - 2sin^2 x + 5sin x - 4 = 0;

-2sin^2 x + 5sin x - 2 = 0.

Введём новую переменную sin x = y.

-2 у^2 + 5 у - 2 = 0;

2 у^2 - 5 у + 2 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-5) ^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9; √D = 3;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (5 + 3) / 4 = 2;

x2 = (5 - 3) / 4 = 1/2.

Выполним обратную подстановку.

1) sin x = 2.

Корней нет, т. к область значений функции у = sun x равна [-1; 1].

2) sin x = 1/2;

x = (-1) ^k * arcsin (1/2) + Пk, k ∈ Z;

x = (-1) ^k * П/6 + Пk, k ∈ Z.

Ответ. (-1) ^k * П/6 + Пk, k ∈ Z.