Решите sin (2x-3 п/2) + 4sin^2 x=2

1. Воспользуемся формулами приведения и преобразуем тригонометрическое выражение:

sin (2x - 3 п/2) + 4sin²x = 2;

sin (2x - 3 п/2) = - sin (3π/2 - 2x);

sin (3π/2 - 2x);

- функция меняется на противоположную;

- угол (3π/2 - 2x) находится в третьей четверти, синус отрицательный;

sin (3π/2 - 2x) = - cos 2 х;

Значит, sin (2x - 3 п/2) = - sin (3π/2 - 2x) = - ( - cos 2 х) = cos 2 х;

Подставим полученные значения:

cos 2 х + 4sin²x = 2;

Применим формулу двойного аргумента тригонометрических функций:

cos2x = 1 - 2sin²x;

1 - 2sin²x + 4sin²x = 2;

2sin²x = 1;

sin²x = 1/2;

Получим два уравнения:

sinx = 1/√2 и sinx = - 1/√2;

1) sinx = 1/√2;

х = ( - 1) r arcsin (1/√2) + πr, r ∈ Z;

х1 = ( - 1) ^r π/4 + πr, r ∈ Z;

2) sinx = - 1/√2;

х = ( - 1) m arcsin ( - 1/√2) + πm, m ∈ Z;

х = - ( - 1) m arcsin (1/√2) + πm, m ∈ Z;

х2 = - ( - 1) r π/4 + πm, m ∈ Z;

Ответ: х1 = ( - 1) ^r π/4 + πr, r ∈ Z, х2 = - ( - 1) ^m π/4 + πm, m ∈ Z;