sinx+cosx=m. Найти максимальое значение m

Функция y (x) = sin x + cos x определена на всем участке (-∞; + ∞). Найдем ее производную:

y' (x) = (sin x + cos x) ' = (sin x) ' + (cos x) ' = cos x + (-sin x) = cos x - sin x.

Производная равна нулю при cos x - sin x = 0, то есть при cos x = sin x, что равносильно:

sin x / cos x = 1 и tg x = 1.

tg x = 1 при x = пи/4 + пи * n, где n - целое.

На участке x = пи/4 + пи * n + a, где a → 0:

cos (пи/4 + a) sin пи/4, а т. к. sin пи/4 = cos пи/4, то:

cos x - sin x < 0.

Следовательно, точна x = пи/4 является точкой максимума.

y (пи/4) = sin пи/4 + cos пи/4 = 0,5√2 + 0,5√2 = √2. Следовательно m = √2.

Ответ: √2.