найдите область определения функции y=корень из (x+20-x^2)

Область определения функции - это все значения, которые может принимать независимая переменная х. Переменная х есть под знаком корня. Квадратный корень можно извлечь из положительного числа или нуля. Поэтому, областью определения функции у = √ (х + 20 - х^2) будет являться решение неравенства х + 20 - х^2 ≥ 0.

Решим неравенство методом интервалов.

1) Найдем нули функции.

-х^2 + х + 20 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 1^2 - 4 * (-1) * 20 = 1 + 80 = 81; √D = 9;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (-1 + 9) / (2 * (-1)) = 8 / (-2) = - 4;

x2 = (-1 - 9) / (-2) = - 10 / (-2) = 5.

2) Отметим на числовой прямой точки - 4 и 5, которые делят ее на три интервала: 1) (-∞; - 4], 2) [-4; 5], 3) [5; + ∞).

3) Проверим, на каком из промежутков выражение х + 20 - х^2 принимает положительные значения.

-5 ∈ (-∞; - 4]; - 5 + 20 - 5^2 = - 5 + 20 - 25 = - 10 < 0;

0 ∈ [-4; 5]; 0 + 20 + 0^2 = 20 > 0;

10 ∈ [5; + ∞); 10 + 20 - 10^2 = 30 - 100 = - 70 < 0.

4) Т. к. наше выражение принимает положительные значения на 2 промежутке, то именно он и является областью определения функции.

Ответ. [-4; 5].