Решите неравенство: log_4 (x^2+6x)

1. Область допустимых значений:

x^2 + 6x > 0;

x (x + 6) > 0;

x ∈ (-∞; - 6) ∪ (0; ∞).

2. Основание логарифма больше единицы, поэтому при решении логарифма сохраняем знак неравенства:

log4 (x^2 + 6x) < - 2;

x^2 + 6x < 4^ (-2);

x^2 + 6x < 1/16.

3. Умножим неравенство на 16:

16x^2 + 96x - 1 < 0;

D/4 = 48^2 + 16 = 16 * (3 * 48 + 1) = 16 * 145;

x = (-48 ± √ (16 * 145)) / 16 = - 3 ± √145 / 4;

x1 = - 3 - √145 / 4 ≈ - 6,01;

x2 = - 3 + √145 / 4 ≈ 0,01;

x ∈ (-3 - √145 / 4; - 3 + √145 / 4).

4. Пересечение двух множеств:

{x ∈ (-∞; - 6) ∪ (0; ∞);

{x ∈ (-3 - √145 / 4; - 3 + √145 / 4);

x ∈ (-3 - √145 / 4; - 6) ∪ (0; - 3 + √145 / 4).

Ответ: (-3 - √145 / 4; - 6) ∪ (0; - 3 + √145 / 4).