Решите уравнение 1) х2-7|х|-8=0 2) |х^2+4 х|≤х+28

1) х^2 - 7|х| - 8 = 0.

Если х > 0, то уравнение имеет вид х^2 - 7 х - 8 = 0 (а).

Если х < 0, то уравнение имеет вид х^2 - 7 (-х) - 8 = 0 (б).

а) х > 0, х^2 - 7 х - 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 7; c = - 8;

D = b^2 - 4ac; D = (-7) ^2 - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 (√D = 9);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (7 - 9) / 2 = - 2/2 = - 1 (не подходит, х должен быть больше нуля);

х₂ = (7 + 9) / 2 = 16/2 = 8.

б) х < 0, х^2 + 7 х - 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 7; c = - 8;

D = b^2 - 4ac; D = 7^2 - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81 (√D = 9);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (-7 - 9) / 2 = - 16/2 = - 8;

х₂ = (-7 + 9) / 2 = 2/2 = 1 (не подходит, х должен быть меньше нуля).

Ответ: х = 8 и х = - 8.

2) Правила раскрытия модуля в неравенстве: если |х| < а, то х - а.

|х^2 + 4 х| ≤ х + 28.

Получается два неравенства: х^2 + 4 х ≤ х + 28 (а) и х^2 + 4 х > = - (х + 28) (б).

а) х^2 + 4 х ≤ х + 28.

Перенесем все в левую часть:

х^2 + 4 х - х - 28 ≤ 0;

х^2 + 3 х - 28 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = х^2 + 3 х - 28, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х^2 + 3 х - 28 = 0.

D = b^2 - 4ac = 9 + 112 = 121 (√D = 11);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (-3 - 11) / 2 = - 14/2 = - 7;

х₂ = (-3 + 11) / 2 = 8/2 = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки - 7 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-7; 4).

б) х^2 + 4 х > = - (х + 28);

перенесем все в левую часть:

х^2 + 4 х + х + 28 > = 0;

х^2 + 5 х + 28 > = 0.

Рассмотрим функцию у = х^2 + 5 х + 28, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х^2 + 5 х + 28 = 0.

D = 25 - 112 = - 87 (нет корней).

Парабола не пересекает ось х, она находится вся над осью х (так как ветви вверх), знак неравенства > = 0, значит, решение неравенства (-∞; + ∞).