упростить выражение по разности косинусов 1. cos (п/4-b) - cos (п/4+b) 2. cos^2 (a-п/4) - cos^2 (a+п/4)

Исходя из формул преобразования суммы функций, данные по условию выражения можно преобразовать по формулам:

cos α - cos β = - 2 * sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2 - разность косинусов;

cos α + cos β = 2 * cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2.

По условию α = π/4 - b, β = π/4 + b, тогда:

cos (π/4 - b) - cos (π/4 + b) = - 2 * sin (π/4 - b + π/4 + b) / 2 * sin (π/4 - b - (π/4 + b)) / 2 = - 2 * sin ((2 * π) / 4) / 2 * sin (π/4 - b - π/4 - b) / 2 = - 2 * sin (π/2 : 2) * sin (2 * b) / 2 = - 2 * sin (π/2 * 1/2) * sin b = - 2 * sin (π/4) * sin b = - 2 * sin (45°) * sin b = - 2 * √2/2 * sin b = - √2 sin b.

По условию α = a - π/4, β = a + π/4. По формулам сокращенного умножения:

cos² (a - π/4) - cos² (a + π/4) = (cos (a - π/4) - cos (a + π/4)) * (cos (a - π/4) + cos (a + π/4))

2.1. cos (a - π/4) - cos (a + π/4) = - 2 * sin (a - π/4 + a + π/4) / 2 * sin (a - π/4 - (a + π/4)) / 2 = - 2 * sin (2 * a) / 2 * sin (a - π/4 - a - π/4) / 2 = - 2 * sin a * sin ( - 2π/4 : 2) = - 2 * sin a * sin ( - π/2 * 1/2) = - 2 * sin a * sin ( - π/4) = 2 * sin a * sin (π/4) = 2 * sin a * sin (45°) = 2 * sin a * √2/2 = √2 sin a.

2.2. cos (a - π/4) + cos (a + π/4) = 2 * cos (a - π/4 + a + π/4) / 2 * cos (a - π/4 - (a + π/4)) / 2 = 2 * cos (2 * a : 2) * cos (a - π/4 - a - π/4) / 2 = 2 * cos a * cos ( - 2π/4 : 2) = 2 * cos a * cos ( - π/4) = 2 * cos a * cos (π/4) = 2 * cos a * cos (45°) = 2 * cos a * √2/2 = √2 cos a.

2.3. √2 sin a * √2 cos a = 2 * sin a * cos a = sin 2a.