Докажите, что 5+5^2+5^3+5^4+5^5 + ... + 5^2016 делиться на 6.

Очевидно, что в сумме

5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + ... + 5^2016

количество слагаемых 2016 и значит четное число.

Разобьем сумма на пары слагаемых:

5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + ... + 5^2016 =

= (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + (5^5 + 5^6) + ... + (5^2015 + 5^2016) =

= 5 * (1 + 5) + 5^3 * (1 + 5) + 5^5 * (1 + 5) + ... + 5^2015 * (1 + 5) =

= 5 * 6 + 5^3 * 6 + 5^5 * 6 + ... + 5^2015 * 6 =

= 6 * (5 + 5^3 + 5^5 + ... + 5^2015), что означает, что сумма делится на 6,

что и требовалось доказать.