1. He ... whenever he goes to the theatre. А) is boring Б) has bored В) is bored 2. He wont let anyone ... his records А) touch Б) touching

Переведем предложения, чтобы определить что именно нужно вставить на места пропусков:

He ... whenever he goes to the theater. - Всякий раз, когда он посещает в театр, ему становится скучно. He won't let anyone ... his records. - Он не позволит никому касаться своих записей.

В первом случае, единственная конструкция, которая построена правильно и подходит по смыслу - это "is bored".

Во втором - это глагол "touch" в начальной форме.