Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 50: xi 0,1 0,5 0,6 0,8 ni 5 15 20 10 Указание. Перейти к условным вариантам Ut = 1Oxt.

Решение. Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле (16.1'):

x 2 (1) 3 1 10 2 4 3 1 51, 9. 20

Вычислим начальные моменты второго и третьего порядков по

формуле (16.5'). Берем k 2

и k 3 соответственно:

2 (1) 2 3 12 10 22 4 32 1 52

2 3 40 36 25

5, 3;

x 2

20

20

2 (1) 3 3 13 1 0 23 4 33 1 53

2 3 80 1 08 12 5

1 5, 7.

x 3

20

2 0

Теперь вычислим центральный момент первого порядка по формуле

(16.6'), в формуле надо взять k 1:

k

1

k

1

k

nixi

1

ni (xi

x

) 1

ni (xi

x

)

i 1

x x x 0,

n i 1

n l 1

n

таким образом, центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Центральный момент второго порядка это неисправленная выборочная дисперсия, ее удобнее вычислить по формуле (16.3):

2 D x 2 x 2 5, 3 (1, 9) 2 5, 3 3, 61 1, 69.

Следует обратить внимание на то, что выборочная дисперсия не может быть отрицательным числом.

Осталось вычислить неисправленную выборочную дисперсию S 2, для этого используем формулу (16.4):

S 2

20

20

1, 69 1, 78.

D

20 1

19

Таким образом, выборочное среднее

x 1, 9;

начальный

момент

второго порядка 2 x 2

5, 3;

начальный

момент

третьего

порядка

3

x 3 15, 7; центральный момент первого

порядка 1 0; центральный