1^2-2^2-3^2+4^2+5^2-6^2-7^2+8^2 + ... + 97^2-98^2-99^2+100^2=

Дано выражение 1² - 2² - 3² + 4² + 5² - 6² - 7² + 8² + ... + 97² - 98² - 99² + 100², которого обозначим через А. Наличие знака равенства после данного выражения воспримем как "Вычислить". Анализируя данное выражение, заметим, что в нём имеется алгебраическая сумма 100 последовательных квадратов чисел от 1 по 100. Рассмотрим выражение В = - 2² - 3² + 4² + 5² - 6² - 7² + 8² + ... + 97². Нетрудно убедиться, что А = В + 1² - 98² - 99² + 100². Применим формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов). Тогда, имеем: А = В + 1 + 100² - 98² - 99² = В + 1 + (100 - 98) * (100 + 98) - 99² = В + 1 + 2 * 198 - 99² = В + 1 + 99 * (2 * 2 - 99) = В + 1 - 99 * 95 = В + 1 - (100 - 1) * 95 = В + 1 - 100 * 95 + 95 = В + 96 - 9500 = В - 9404. Вычислим значение выражения В. С этой целью, группируем слагаемые во выражении В следующим образом: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. Тогда, получим: В = [ (97² - 2²) + (96² - 3²) - (95² - 4²) - (94² - 5²) ] + [ (93² - 6²) + (92² - 7²) - (91² - 8²) - (90² - 9²) ] + ... + [ (53² - 46²) + (52² - 47²) - (51² - 48²) - (50² - 49²) ]. Нетрудно посчитать, что в последнем выражении имеются 12 пар квадратных скобок. Имеем: В = [ (97 + 2) * (97 - 2) + (96 + 3) * (96 - 3) - (95 + 4) * (95 - 4) - (94 + 5) * (94 - 5) ] + [ (93 + 6) * (93 - 6) + (92 + 7) * (92 - 7) - (91 + 8) * (91 - 8) - (90 + 9) * (90 - 9) ] + ... + [ (53 + 46) * (53 - 46) + (52 + 47) * (52 - 47) - (51 + 48) * (51 - 48) - (50 + 49) * (50 - 49) ] = [99 * 95 + 99 * 93 - 99 * 91 - 99 * 89] + [99 * 87 + 99 * 85 - 99 * 83 - 99 * 81] + ... + [99 * 7 + 99 * 5 - 99 * 3 - 99 * 1]. В последнем выражении каждое слагаемое имеет множитель 99 и таких слагаемых всего 12 * 8 = 96. Следовательно, В = 99 * (95 + 93 - 91 - 89 + 87 + 85 - 83 - 81 + ... + 7 + 5 - 3 - 1). Ещё раз группируем слагаемые в скобках по принципу из п. 3. Тогда, последнее выражение для В примет вид В = 99 * {[ (95 - 1) + (93 - 3) - (91 - 5) - (89 - 7) ] + [ (87 - 9) + (85 - 11) - (83 - 13) - (81 - 15) ] + ... + [ (55 - 41) + (53 - 43) - (51 - 45) - (49 - 47) ]}. Нетрудно посчитать, что в последнем выражении имеются 6 пар квадратных скобок. Имеем: В = 99 * (94 + 90 - 86 - 82 + 78 + 74 - 70 - 66 + ... + 14 + 10 - 6 - 2) = 99 * 2 * (47 + 45 - 43 - 41 + 39 + 37 - 35 - 33 + ... + 7 + 5 - 3 - 1). Далее, продолжая группировки, получим: В = 198 * {[ (47 - 1) + (45 - 3) - (43 - 5) - (41 - 7) ] + [ (39 - 9) + (37 - 11) - (35 - 13) - (33 - 15) + (31 - 17) + (29 - 19) - (27 - 21) - (25 - 23) ]} = 198 * (46 + 42 - 38 - 34 + 30 + 26 - 22 - 18 + 14 + 10 - 6 - 2) = 198 * 2 * (23 + 21 - 19 - 17 + 15 + 13 - 11 - 9 + 7 + 5 - 3 - 1) = 396 * [ (23 - 1) + (21 - 3) - (19 - 5) - (17 - 7) + (15 - 9) + (13 - 11) ] = 396 * (22 + 18 - 14 - 10 + 6 + 2) = 396 * 2 * (11 + 9 - 7 - 5 + 3 + 1) = 792 * 12 = 9504. Окончательно, А = В - 9404 = 9504 - 9404 = 100.

Ответ: 100.