7^ (x+1) + 7^ (x) = 3^ (x+1) - 4*3^ (x)

Вынесем 7^х за скобки. Применим следующее свойство степени: при делении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а показатели вычитаются:

7^х (7^{х + 1 - х} + 1) = 3^х (3^{х + 1 - х} - 4 * 1);

7^х (7 + 1) = 3^х (3 - 4);

7^х * 8 = 3^х * ( - 1).

Разделим обе части уравнения на 3^х и на 8:

7^х / 3^х = - 1 / 8.

По свойству степени (чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель) получим:

(7/3) ^х = - 1/8.

Данное уравнение не имеет корней, так как (7/3) ^х принимает только положительные значения при любых х, а число - 1/8 - отрицательное.

Ответ: нет корней.