Lg (x-1) + lg (x-2,5) = 1

Прежде чем решить логарифмическое уравнение lg (x - 1) + lg (x - 2,5) = 1, сначала определим область допустимых значений х, для которых данное уравнение имеет смысл. Как известно, если дан логарифм log_ab, то должны выполняться условия: a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Для нашего примера должны выполняться неравенства x - 1 > 0 и х - 2,5 > 0. Нетрудно убедиться, что эти неравенства одновременно справедливы при х ∈ (2,5; + ∞). Применяя формулу log_a (b * с) = log_ab + log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, преобразуем левую сторону уравнения следующим образом: lg (x - 1) + lg (x - 2,5) = lg[ (x - 1) * (x - 2,5) ] = lg (х² - 3,5 * х + 2,5). Поскольку 1 = lg10, то имеем lg (х² - 3,5 * х + 2,5) = lg10 или x² - 3,5 * x + 2,5 = 10, откуда x² - 3,5 * x - 7,5 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением. Найдём его дискриминант D = (-3,5) ² - 4 * 1 * (-7,5) = 12,25 + 30 = 42,25 > 0. Поскольку дискриминант положительный, то это уравнение имеет два различных корня. Вычислим их: х₁ = (3,5 - √ (42,25)) / 2 = (3,5 - 6,5) / 2 = - 3/2 = - 1,5 и х₂ = (3,5 + √ (42,25)) / 2 = (3,5 + 6,5) / 2 = 10/2 = 5. Заметим, что первый корень х = - 1,5 не может считаться решением данного уравнения, так как - 1,5 ∉ (2,5; + ∞). Второй корень х = 5 удовлетворяет всем требованиям задания. Следовательно, данное уравнение имеет лишь одно решение: х = 5.

Ответ: х = 5.