2^ (x+2) + 2^ (x+3) + 2^ (x+4) = 7*2^ (x^2)

Перед тем, как решать уравнение, запишем его в другом виде. Пользуясь свойством степеней (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываем, а основание оставляем), запишем все слагаемые в следующем виде:

2^x*2^2+2^x*2^3+2^x*2^4=7*2^x*2^x;

4*2^x + 8*2^x + 16*2^x = 7*2^x*2^x.

Введем замену. Пусть 2^x = а. Получим квадратное уравнение и решим его:

4 а + 8 а + 16 а = 7 а^2;

7 а^2 - 28 а = 0;

7 а (а - 4) = 0.

Если произведение = 0, значит один из множителей = 0. Тогда:

7 а = 0 или а - 4 = 0;

а = 0 или а = 4.

Возвращаемся к замене:

2^x = 4, х = 2;

2^x = 0, уравнение не имеет корней.

Ответ: 2.