19*4^x-5*2^x+2+1=0 [-5; -4]

В задании дано показательное уравнение 19 * 4^x - 5 * 2^{x + 2} + 1 = 0 и отрезок числовой оси [-5; - 4]. Однако, какое-либо требование в нём, отсутствует. Решим данное уравнение, для чего воспользуемся свойствами степеней. Поскольку 4^x = (2²) ^x = (2^x) ² и 2^{x + 2} = 2^x * 2² = 4 * 2^x, то получим: 19 * (2^x) ² - 5 * 4 * 2^x + 1 = 0 или 19 * (2^x) ² - 20 * 2^x + 1 = 0. Введём новую переменную у = 2^x. Тогда, данное уравнение примет вид: 19 * у² - 20 * у + 1 = 0. Решим полученное квадратное уравнение, для чего найдем его дискриминант: D = (-20) ² - 4 * 19 * 1 = 400 - 76 = 324. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: у₁ = (20 - √ (324)) / (2 * 19) = (20 - 18) / 38 = 2/38 = 1/19 и у₂ = (20 + √ (324)) / (2 * 19) = (20 + 18) / 38 = 38/38 = 1. Проверим каждый корень по отдельности. При у = 1/19, имеем 2^x = 1/19, откуда х = log₂ (1/19) = - log₂19. Если у = 1, то получим: 2^x = 1, откуда х = 0. Таким образом, получили два решения данного уравнения: х = - log₂19 и х = 0. Поскольку 16 < 19 1, то log₂16 < log₂19 < log₂32 или 4 < log₂19 < 5, откуда - 5 < - log₂19 < - 4. Это означает, что один из корней (-log₂19) данного уравнения принадлежит к отрезку числовой оси [-5; - 4], то есть - log₂19 ∈ [-5; - 4].