3^ (2x+1) + 3^ (x-1) <28 показательное неравенство

3 ^{2 x + 1} + 3 ^{x - 1} < 28.

Преобразуем неравенство:

3 ^{2 (x - 1) + 3} + 3 ^{x - 1} < 28;

27 * 3 ^{2 (x - 1)} + 3 ^{x - 1} < 28.

Введём обозначение:

y = 3 ^{x - 1}.

Получим неравенство:

27 y ² + y - 28 < 0.

Разложим левую часть неравенства на линейные множители.

Для этого найдём корни квадратного уравнения:

y = ( - 1 ± √ (1 + 3024)) / 54 = ( - 1 ± 55) / 54;

y₁ = 1;

y₂ = - 56/54 = - 28/27.

Получим неравенство:

27 y ² + y - 28 = 27 (y - 1) (y + 28/27) < 0.

Так как второй множитель:

y + 28/27 = 3 ^{x - 1} + 28/27 > 0,

то первый множитель должен быть отрицателен:

y - 1 = 3 ^{x - 1} - 1 < 0;

3 ^{x - 1} < 1.

Показательная функция, с основанием больше единицы, меньше единицы только когда её показатель меньше единицы:

x - 1 < 1;

x < 2.