Черепаха и муравей поползли навстречу друг другу из своих домиков. Муравей ползет в три раза быстрее, но после каждых 6 метров он 6 минут отдыхает, а черепаха ползет постоянно. Через час черепаха добралась до середины пути и увидела там отдыхающего муравья. Найдите расстояние между домиками муравья и черепахи.

Обозначим через х - расстояние (в метрах) между домиками муравья и черепахи. Поскольку черепаха и муравей добрались до середины пути и там встретились, то каждый из них прополз по (х / 2) метра. Условия задания о том, что " ... после каждых 6 метров он (муравей) 6 минут отдыхает" и " ... черепаха добралась до середины пути и увидела там отдыхающего муравья" позволяют утверждать, что число х / 2 - кратное 6 натуральное число, то есть, х - кратное 12 натуральное число Черепаха ползет с постоянной скоростью. Следовательно, его скорость движения равна (х / 2) м/ч или ((х / 2) м/мин) : 60 = (х / 120) м/мин. Муравей ползет в три раза быстрее чем черепаха, то есть, его скорость движения равна 3 * (х / 120) м/мин = (х / 40) м/мин. Муравей, двигаясь со скоростью (х / 40) м/мин, истратит на первые 6 м расстояния (6 м) : ((х / 40) м/мин) = (240 / х) минут времени. Добавим сюда время на отдых муравья и получим ((240 / х) + 6) минут - время отправления на преодоление муравьём следующего 6 метрового расстояния. Нетрудно догадаться, что в интервале [ (240 / х) * n + 6 * (n - 1); (240 / х) * n + 6 * n] времени (в минутах) муравей отдыхает после достижения n-го 6 метрового рубежа, n - натуральное число. Согласно условия задания через час (60 минут) черепаха добралась до середины пути и увидела там отдыхающего муравья. Следовательно, справедливо двойное неравенство (240 / х) * n + 6 * (n - 1) ≤ 60 ≤ (240 / х) * n + 6 * n. Преобразуем это неравенство и получим: (40 * n) / (11 - n) ≤ x ≤ (40 * n) / (10 - n). Ясно, что множество определения переменной n сужается: n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Рассмотрим каждый случай по отдельности. При n = 1, имеем двойное неравенство 4 ≤ х ≤ 40/9, что противоречит кратности х к 12. При n = 2, 3 и 4 соответственно получаем неравенства 80/9 ≤ х ≤ 10, 15 ≤ х ≤ 120/7 и 160/7 ≤ х ≤ 80/3, каждое из которых также противоречит кратности х к 12. При n = 5, имеем 100/3 ≤ х ≤ 40, что порождает случай х = 36 для рассмотрения, поскольку число 36 кратно к 12. Несложно вычислить, что если расстояние между домиками муравья и черепахи равно 36 метров, то муравей, имея скорость движения (36/40) м/мин = 0,9 м/мин, через час окажется на расстоянии 30 метров от своего домика, что противоречит условию задания (30 > 36/2). При n = 6, имеем: 48 ≤ х ≤ 60, что порождает 2 случая для рассмотрения: х = 48 и х = 60, поскольку числа 48 и 60 кратны к 12. Пусть х = 48. Тогда, муравей, имея скорость движения 48/40 м/мин = 1,2 м/мин, через час окажется на расстоянии 36 метров от своего домика, что противоречит условию задания (36 > 48/2). Аналогично, если х = 60, то скорость движения муравья будет равна 60/40 м/мин = 1,5 м/мин и через час он окажется на расстоянии 36 метров от своего домика, что невозможно по условию задания (36 > 60/2). При n = 7, имеем: 70 ≤ х ≤ 280/3, что порождает 2 случая для рассмотрения: х = 72 и х = 84, поскольку числа 72 и 84 кратны к 12. Пусть х = 72. Тогда, муравей, имея скорость движения 72/40 м/мин = 1,8 м/мин, через час окажется на расстоянии 42 метров от своего домика, что противоречит условию задания (42 > 72/2). Пусть х = 84. Тогда, муравей, имея скорость движения 84/40 м/мин = 2,1 м/мин, через час окажется на расстоянии 42 метров от своего домика, что соответствует условию задания. Для полной уверенности вычислим скорость черепахи. В этом случае, черепаха будет двигаться с постоянной скоростью (2,1 м/мин) : 3 = 0,7 м/мин и через час доберётся до середины пути (60 мин * 0,7 м/мин = 42 м = (82 м) / 2) и увидит там отдыхающего муравья. Нашли одно решение задания. Продолжим рассмотрение значений n. Пусть n = 8. Тогда, имеем: 320/3 ≤ х ≤ 160, что порождает 5 случаев для рассмотрения: х = 108, х = 120, х = 132, х = 144 и х = 156, поскольку числа 108, 120, 132, 144 и 156 кратны к 12. Скорости (в м/мин) муравья для этих 5 случаев соответственно будут равны: 2,7; 3; 3,3; 3,6 и 3,9. Через час муравей окажется на расстоянии 48 метров от своего домика, что меньше 108/2, 120/2, 132/2, 144/2 и 156/2. Наконец, рассмотрим последний случай, когда n = 9. На этот раз диапазон исследования расширяется: 180 ≤ х ≤ 360. Однако, среди 16 кандидатов на решение задания ни один не подходит, поскольку во всех 16 значениях х (180, 192, ..., 360), через час муравей окажется на расстоянии 54 метров от своего домика, что меньше чем 180/2, 192/2, ..., 360.

Ответ: Расстояние между домиками муравья и черепахи равно 84 м.