1*4+2*7+3*10 + ... + n (3n+1) = n (n+1) ^2

Дана последовательность. 1 * 4 + 2 * 7 + 3 * 10 + ... + n (3n+1) = n (n+1) ².

Докажем справедливость этой формулу методом математической индукции.

Проверим справедливость этой формулы при n = 1,

n (n+1) ² = 1 * (1 + 1) ² = 1 * 2² = 1 * 4, - формула справедлива.

Предположим, что она справедлива при некотором n = k, покажем, что она верна будет и для

n = k + 1.

Мы имеем, что 1 * 4 + 2 * 7 + 3 * 10 + ... + k (3k + 1) = 3 (1² + 2² + ... + k²) + (1 + 2 + ... + k) = k (k + 1) (2k + 1) / 2 + k (k + 1) / 2 = k (k + 1) / 2 * (2k + 2) = k (k+1) ² - верно и при k+1, значить формула справедлива.