Найти максимум функции f (X) = 15x^4 + 20x^3 - 24x^5

f (X) = 15 * Х⁴ + 20 * Х³ - 24 * Х⁵.

Найдем производную функции F (X).

F' (X) = (15 * Х⁴ + 20 * Х³ - 24 * Х⁵) ' = 60 * Х³ + 60 * Х² - 120 * Х⁴.

Приравняем производную к нулю и определим критические точки.

60 * Х³ + 60 * Х² - 120 * Х⁴ = 0.

60 * Х² * (Х + 1 - 2 * Х²) = 0.

-60 * Х² * (2 * Х² - Х - 1) = 0.

Х₁ = 0.

Решим квадратное уравнение 2 * Х² - Х - 1 = 0.

Х₂ = 1.

Х₃ = - 1/2.

Определим знак производной при Х = -.1

F' (-1) = - 120.

F' (1) = 0.

Точка Х = - 1/2 точка минимума.

Определим знак производной при Х = 0,5.

F' (0,5) = 7,5 + 15 - 7,5 = 15.

Определим знак производной при Х = 2.

F' (2) = 420 + 240 - 1920 = - 2580.

В точке Х = 1 производная меняет знак с "+" на "-", тогда точка Х = 1 точка максимума.

F (1) = 15 * 1 + 20 * 1 - 24 * 1 = 11.

Ответ: Максимум функции f (X) равен 11 при Х = 1.