Найдите сумму 1/1*6+1/2*9+1/3*12 + ... + 1/2008*6027

Каждое слагаемое данной суммы можно представить в виде 1 / (n * (3n + 3)), где n - некоторое целое число.

Покажем, что для любого n выполняется соотношение:

1 / (n * (3n + 3)) = 1 / (3n) - 1 / (3n + 3).

Преобразовывая правую часть данного соотношения, получаем:

1 / (3n) - 1 / (3n + 3) = (3n + 3) / (3n * (3n + 3)) - 3n / (3n * (3n + 3)) = (3n + 3 - 3n) / (3n * (3n + 3)) = 3 / (3n * (3n + 3)) = 1 / (n * (3n + 3)).

Применяя данное соотношение к сумме 1/1*6 + 1/2*9 + 1/3*12 + ... + 1/2008*6027, получаем:

1/1*6 + 1/2*9 + 1/3*12 + ... + 1/2008*6027 = 1/3 - 1/6 + 1/6 - 1/9 + 1/9 - 1/12 + ... + 1/6024 - 1/6027 = 1/3 - 1/6027 = 2008/6027.

Ответ: данная сумма равна 2008/6027.