X^4+x^3-5x^2-3x+6=0 как решать?

х⁴ + x³ - 5x² - 3x + 6 = 0.

Часто корнями многочлена являются делители свободного члена, в данном случае это число 6: 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6 или - 6.

Предположим, х = 1: 1⁴ + 1³ - 5 * 1² - 3 * 1 + 6 = 1 + 1 - 5 - 3 + 6 = 0 (подходит), х₁ = 1.

Разложим на множители многочлен, первая скобка будет равна (х - х₁), то есть (х - 1).

Чтобы найти вторую скобку, поделим (х⁴ + x³ - 5x² - 3x + 6) на (х - 1), получится (х³ + 2 х² - 3 х - 6).

Отсюда х⁴ + x³ - 5x² - 3x + 6 = (х - 1) (х³ + 2 х² - 3 х - 6) = 0.

Разложим вторую скобку на множители методом группировки:

х³ + 2 х² - 3 х - 6 = х² (х + 2) - 3 (х + 2) = (х² - 3) (х + 2).

Получилось уравнение: (х - 1) (х² - 3) (х + 2) = 0.

Произведение равно нулю, когда одна из скобок равна нулю.

х - 1 = 0; х = 1.

х² - 3 = 0; х² = 3; х = ±√3.

х + 2 = 0; х = - 2.

Ответ: корни уравнения равны - 2, - √3, 1 и √3.