25^ (x^2+0,5) - 5^ (x^2) = 5^ (x^2+3) - 25

Представим число 25 в виде степени с основанием 5:

5^{2 (x² + 0,5)} - 5^x² = 5 ^{(x² + 3)} - 25.

5^{2x² + 1} - 5^x² = 5 ^{(x² + 3)} - 25.

Расписываем составные степени:

5^2x² * 5 - 5^x² = 5^x² * 5³ - 25.

5 * 5^2x² - 5^x² = 125 * 5^x² - 25.

5 * 5^2x² - 5^x² - 125 * 5^x² + 25 = 0.

5 * (5^x²) ² - 126 * 5^x² + 25 = 0.

Введем новую переменную, пусть 5^x² = а.

5 а² - 126a + 25 = 0.

D = 15876 - 500 = 15376 (√D = 124);

а₁ = (126 - 124) / 10 = 2/10 = 1/5.

а₂ = (126 + 124) / 10 = 250/10 = 25.

Возвращаемся в замене 5^x² = а.

а = 1/5; 5^x² = 1/5; 5^x² = 5^-1; х² = - 1 (нет корней).

а = 25; 5^x² = 25; 5^x² = 5²; х² = 2; х = - √2 и х = √2.

Ответ: корни уравнения равны - √2 и √2.