X^2+2x+1 / x^2+2x+2 + x^2+2x+2 / x^2+2x+3 = 7/6

(х² + 2x + 1) / (x² + 2x + 2) + (x² + 2x + 2) / (x² + 2x + 3) = 7/6.

ОДЗ:

x² + 2x + 2 ≠ 0,

x² + 2x + 3 ≠ 0.

x² + 2x + 2 = 0:

D < 0, корней нет.

x² + 2x + 3 = 0:

D < 0, корней нет.

ОДЗ: вся числовая ось.

Перенесем все в левую часть:

(х² + 2x + 1) / (x² + 2x + 2) + (x² + 2x + 2) / (x² + 2x + 3) - 7/6 = 0.

Для удобства произведем замену переменных: у = х² + 2 х, получим:

(у + 1) / (у + 2) + (у + 2) / (у + 3) - 7/6 = 0.

Упростим левую часть:

приведем к общему знаменателю: 6 (у + 2) (у + 3):

(6 (у + 1) (у + 3) + 6 (у + 2) ² - 7 (у + 2) (у + 3)) / 6 (у + 2) (у + 3).

Упростим числитель дроби:

6 (у + 1) (у + 3) + 6 (у + 2) ² - 7 (у + 2) (у + 3) = 6 (у² + 4 у + 3) + 6 (у² + 4 у + 4) - 7 (у² + 5 у + 6) = 6 у² + 24 у + 18 + 6 у² + 24 у + 24 - 7 у² - 35 у - 42 = 5 у² + 13 у.

Получим уравнение:

(5 у² + 13 у) / 6 (у + 2) (у + 3) = 0.

5 у² + 13 у = 0,

у (5 у + 13) = 0,

у₁ = 0,

у₂ = - 13/5 = - 2,6.

Возвратимся к исходным переменным:

х² + 2 х = 0,

х² + 2 х = - 2,6.

Решим первое уравнение:

х² + 2 х = 0,

х (х + 2) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = - 2.

Решим второе уравнение:

х² + 2 х = - 2,6,

умножим на 5 обе части уравнения:

5 х² + 10 х = - 13,

5 х² + 10 х + 13 = 0,

D = 100 - 4 * 5 * 13 = - 160.

D < 0, корней нет.

Ответ: 0; - 2.