36^n + 6^n+1 + 8 / 2^n+1 + 12^n

1. Для упрощения выражения будем использовать следующие формулы:

(a^n) ^m = a^nm;

a^ (n + m) = a^n * a^m;

(an) ^m = a^m * n^m;

(36^n + 6^ (n + 1) + 8) / (2^ (n + 1) + 12^n) =

= ((6^2) ^n + 6^1 * 6^n + 8) / (2^1 * 2^n + (6*2) ^n) =

= (6^2n + 6 * 6^n + 8) / (2 * 2^n + 6^n * 2^n)

2. Выделим в числителе формулу квадрата суммы.

(6^2n + 6 * 6^n + 8) / (2 * 2^n + 6^n * 2^n) =

= ([ (6^n) ^2 + 6 * 6^n + 9] - 1) / (2 * 2^n + 6^n * 2^n) =

= ((6^n + 3) ^2 - 1) / ((2 + 6^n) * 2^n)

3. В числителе применим формулу разности квадратов.

((6^n + 3) ^2 - 1) / ((2 + 6^n) * 2^n) =

= ((6^n + 3) - 1) * ((6^n + 3) + 1) / ((2 + 6^n) * 2^n) =

= (6^n + 2) * (6^n + 4) / ((2 + 6^n) * 2^n) =

= (6^n + 4) / 2^n =

= (3^n * 2^n + 2^2) / 2^n =

= 3^n + 2^ (2 - n)

Ответ: 3^n + 2^ (2 - n)