1) Число а - рациональное, а число b-иррациональное. Каким числом, рациональным или иррациональным, является: а) 3 а+b б) а+2b в) а2+4 а+b г) 3 а2-а+4b? 2) При каких значениях а и b прямые у=-2 х+b и у=ах-b пересекаются в точке (3; -1) ?

1) Любое рациональное число можно представить в виде дроби, числитель и знаменатель которой целые числа.

Иррациональное число не представимо в вид дроби с целыми числами в числителе и знаменателе.

a = a₁/a₂, где a₁ и a₂ целые числа.

a) Пусть:

3 a + b = c;

где с число рациональное: c = c₁/c₂

с целыми числами в числителе и знаменателе.

b = c - 3 a = c₁/c₂ - 3 a₁/a₂ =

(c₁ a₂ - 3 a₁ c₂) / (a₂ c₂).

Получили дробь с целыми числителем и знаменателем, то есть получили рациональное число, которое равняется иррациональному b, что невозможно.

Следовательно, предположение, что c рациональное не верно:

с - иррациональное число.

б) Пусть:

a + 2 b = с - рациональное число.

b = (c - a) / 2;

b = (c₁ a₂ - a₁ c₂) / (2 a₂ c₂) - рациональное число, что невозможно, так как b иррационально.

Следовательно, с - иррационально.

в) Так как:

а ² + 4 а = (a₁/a₂) ² + 4 (a₁/a₂) = (a₁ ² + 4 a₁ a₂) / a₂ ²

число рациональное, то

а ² + 4 а + b

число иррациональное.

г) 3 а ² - а + 4 b.

(3 а ² - а) - рациональное число;

4 b - иррациональное число, в противном случае получаем противоречие.

Следовательно, исходное число иррационально.

2) Прямые у = - 2 х + b и у = а х - b пересекаются в точке (3; -1).

Подставив координаты точки пересечения прямых в их уравнения, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными a, b:

-1 = - 2 * 3 + b;

-1 = а * 3 - b.

Из первого уравнения прямой находим b:

b = 5.

Подставив полученное значение b во второе уравнение, находим a:

a = 4/3.