2 х|х+3|+2 х+5|х+3|+5=0

Определим значение х, где модуль меняет знак:

х + 3 = 0; х = - 3.

Получается два промежутка: 1) (-∞; - 3) модуль (-); 2) (-3; + ∞) модуль (+).

2 х|х + 3| + 2 х + 5|х + 3| + 5 = 0.

1) (-∞; - 3) раскрываем модуль со знаком (-).

2 х (-х - 3) + 2 х + 5 (-х - 3) + 5 = 0.

-2 х² - 6x + 2 х - 5 х - 15 + 5 = 0.

-2 х² - 9 х - 10 = 0.

Умножаем на (-1):

2 х² + 9 х + 10 = 0.

D = 81 - 80 = 1 (√D = 1);

х₁ = (-9 - 1) / 4 = - 10/4 = - 2,5 - не подходит, так как не входит в промежуток (-∞; - 3).

х₂ = (-9 + 1) / 4 = - 8/4 = - 2 - не подходит, так как не входит в промежуток (-∞; - 3).

2) (-3; + ∞) раскрываем модуль со знаком (+).

2 х (х + 3) + 2 х + 5 (х + 3) + 5 = 0.

2 х² + 6x + 2 х + 5 х + 15 + 5 = 0.

2 х² + 13 х + 20 = 0.

D = 169 - 160 = 9 (√D = 3);

х₁ = (-13 - 3) / 4 = - 16/4 = - 4 - не подходит, так как не входит в промежуток (-3; + ∞).

х₂ = (-13 + 3) / 4 = - 10/4 = - 2,5.

Ответ: корень уравнения равен - 2,5.