4^ (1/x) + 6^ (1/x) - 9^ (1/x) = 0

Решите уравнение:

4^ (1/x) + 6^ (1/x) - 9^ (1/x) = 0.

1. Разделим обе части уравнения на 9^ (1/x):

4^ (1/x) + 6^ (1/x) - 9^ (1/x) = 0;

(4/9) ^ (1/x) + (6/9) ^ (1/x) - 1 = 0;

((2/3) ^ (1/x)) ^2 + (2/3) ^ (1/x) - 1 = 0.

2. Обозначим:

y = (2/3) ^ (1/x) и решим уравнение:

y^2 + y - 1 = 0;

D = 1 + 4 = 5;

y = 1 ± √5.

3a. y = 1 - √5;

(2/3) ^ (1/x) = 1 - √5 < 0, не имеет решения.

3b. y = 1 + √5;

(2/3) ^ (1/x) = 1 + √5;

(1/x) * ln (2/3) = ln (1 + √5);

1/x = ln (1 + √5) / ln (2/3);

x = ln (2/3) / ln (1 + √5);

x = (ln2 - ln3) / ln (1 + √5).

Ответ: (ln2 - ln3) / ln (1 + √5).