1) Верно ли, что из 2016 целых чисел всегда можно выбрать 2 числа так, чтобы их сумма была четной? 2) Можно ли натуральные числа от 1 до 21 включительно разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме всех остальных чисел в этой группе? 3) При каких целых x и y система из двух уравнений 4x2 - y2 = 83 и y (4x - 2y + 1) = 122 имеет решение? 4) Можно ли выложить стенку 9 х15 х16 из кирпичей размером 2 х5 х6, если ломать кирпичи нельзя? Кирпичи можно поворачивать. Стенка - параллелепипед с указанными размерами.

1) Для получения четного числа, необходимо сложить два числа одинаковой четности. Так как вариантов четности всего два, среди 2016 чисел будет по крайней мере два числа с одинаковой четностью, следовательно из их сумма будет четной

2) Среди чисел от 1 до 21 11 нечетных чисел. Тогда:

а) Если в группе самое большое число - нечетное, то и сумма остальных чисел должна быть нечетной, следовательно среди них нечетное количество нечетных чисел, но тогда в общем в группе таких чисел четное количество

б) Если же в группе самое большое число - четное, тогда сумма остальных чисел четна, а значит среди них, а следовательно и во всей группе, четное количество нечетных чисел.

Таким образом, в каждой группе будет четное количество нечетных чисел. Но всего их 11 - нечетное число, значит мы не сможем распределить их всех по группам

3) 4x^2-y^2 = 83

y (4x - 2y + 1) = 122

Возьмём второе уравнение

Число 122 раскладывается на произведение 61*2. Так как числа y и x простые, то один из элементов произведения y * (4x-2y+1) равен 2, а второй - 61. Проверим оба варианта

y=2, тогда

2 * (4x-4+1) = 122

4x-3 = 61

4x = 64

x = 16

Подставим для проверки в первое уравнение:

4*256 - 4 = 1020, что не равно 83, значит этот вариант не подходит

проверим y=61

61 * (4x-122+1) = 122

4x-121 = 2

4x = 123

х = 30.75, но х должно быть целым

Таким образом, нельзя решить данную систему уравнений для целых Х и Y

4) Стенку длиной 9 можно выложить только складывая кирпичи гранями 5, 2 и 2

Грань длиной в 6 может присутствовать только в стене длиной в 16

таким образом, уложим первый слой из трех кирпичей, положив их стороной 6 вдоль стены длиной в 16, длинами 5, 2, 2 вдоль стороны длины 9. Тогда, поверх кирпича "5" мы можем положить только кирпичи точно таким же расположением, то же самое и про кирпичи "2". Но тогда, складывая поверх блока "5" точно такие же блоки, вдоль стены 15 будут укладываться длиной в 2, а следовательно их сумма не сможет равняться ровно 15, значит в данной задаче решения нет.