2^2x+1+25^+0,5=7*10^x

2 ^{(2x + 1)} + 25 ^{(х + 0,5)} = 7 * 10^x.

Перенесем все в левую часть:

2 ^{(2x + 1)} - 7 * 10^x + 25 ^{(х + 0,5)} = 0.

Распишем составные степени.

2^2x * 2 - 7 * 10^x + 25^х * 25^0,5 = 0.

Вычислим 25^0,5 = 25^1/2 = √25 = 5.

2^2x * 2 - 7 * 10^x + 25^х * 5 = 0.

Представим все основания степени в виде чисел 2 или 5.

(2^х) ² * 2 - 7 * (2 * 5) ^x + (5²) ^х * 5 = 0.

(2^х) ² * 2 - 7 * 2^х * 5^x + (5^х) ² * 5 = 0.

Поделим уравнение на (5^х) ²:

(2^х) ² / (5^х) ² * 2 - 7 * 2^х * 5^x / (5^х) ² + (5^х) ² / (5^х) ² * 5 = 0.

((2/5) ^х) ² * 2 - 7 * (2/5) ^х + 5 = 0.

Произведем замену, пусть (2/5) ^х = а.

2 а² - 7 а + 5 = 0.

D = 49 - 40 = 9 (√D = 3);

а₁ = (7 - 3) / 4 = 4/4 = 1.

а₂ = (7 + 3) / 4 = 10/4 = 5/2.

Вернемся к замене (2/5) ^х = а.

а = 1; (2/5) ^х = 1; (2/5) ^х = (2/5) ⁰; х = 0.

а = 5/2; (2/5) ^х = 5/2; (2/5) ^х = (2/5) ^-1; х = - 1.

Ответ: корни уравнения равны - 1 и 0.