5*4^ (x-1) - 16^ (x) + 0.25*2^ (2x+2) + 7=0

Распишем составные степени:

5 * 4 ^{(x - 1)} - 16^x + 0,25 * 2 ^{(2x + 2)} + 7 = 0.

5 * 4^x * 4^-1 - 16^x + 0,25 * 2^2x * 2² + 7 = 0.

5 * 4^x * 1/4 - 16^x + 0,25 * 2^2x * 4 + 7 = 0.

5/4 * 4^x - 16^x + 2^2x + 7 = 0.

Представим число 4 в виде степени с основанием 2.

5/4 * 2^{2 х} + 2^2x - 16^x + 7 = 0.

(5/4 + 1) * 2^2x - 16^x + 7 = 0.

9/4 * 2^2x - 16^x + 7 = 0.

Представим степени с основанием 4.

9/4 * 4^x - 4^{2 х} + 7 = 0.

- (4^х) ² + 9/4 * 4^x + 7 = 0.

Введем новую переменную, пусть 4^х = а.

-а² + 9/4 а + 7 = 0. Умножаем на (-1).

а² - 9/4 а - 7 = 0.

D = 81/16 + 28 = 5 1/16 + 28 = 33 1/16 = 529/16 (√D = 23/4);

а₁ = (9/4 - 23/4) / 2 = - 14/8.

а₂ = (9/4 + 23/4) / 2 = 32/8 = 4.

Возвращаемся к замене 4^х = а.

а = - 14/8; 4^х = - 14/8 (не может быть, нет корней).

а = 4; 4^х = 4; 4^х = 4¹; х = 1.

Ответ: корень уравнения равен 1.