2^4 х - 7*4^х * 3^х-1 + 4*3^2 х-1

2^4 х - 7 * 4^х * 3^ (х - 1) + 4 * 3^ (2 х - 1) = 0.

Распишем все степени:

4^2 х - 7 * 4^х * 3^х * 3^ (-1) + 4 * 3^2 х * 3^ (-1) = 0;

(4^x) ^2 - 7 * 4^х * 3^х * 1/3 + 4 * (3^x) ^2 * 1/3 = 0;

(4^x) ^2 - 7/3 * 4^х * 3^х + 4/3 * (3^x) ^2 = 0.

Поделим уравнение на (3^x) ^2:

(4^x) ^2 / (3^x) ^2 - 7/3 * 4^х * 3^х / (3^x) ^2 + 4/3 * (3^x) ^2 / (3^x) ^2 = 0;

(4^x/3^x) ^2 - 7/3 * 4^х/3^x + 4/3 = 0;

((4/3) ^x) ^2 - 7/3 * (4/3) ^x + 4/3 = 0;

Произведем замену, пусть (4/3) ^x = a.

Получится уравнение а^2 - 7/3a + 4/3 = 0.

Умножим уравнение на 3:

3 а^2 - 7a + 4 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = - 7; c = 4;

D = b^2 - 4ac; D = (-7) ^2 - 4 * 3 * 4 = 49 - 48 = 1 (√D = 1);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (7 - 1) / (2 * 3) = 6/6 = 1.

а₂ = (7 + 1) / 6 = 8/6 = 4/3.

Вернемся к замене (4/3) ^x = a.

1) а = 1.

(4/3) ^x = 1; (4/3) ^x = (4/3) ^0 (любое число в нулевой степени равно 1).

Отсюда х = 0.

2) а = 4/3.

(4/3) ^x = 4/3; (4/3) ^x = (4/3) ^1.

Отсюда х = 1.

Ответ: корни уравнения равны 0 и 1.