5+10+15 + ... + 95+100; 21+22+23 + ... + 29+30

Перед нами две арифметические прогрессии, значит и для расчета суммы определенного количества членов можно применить формулы суммы первых членов.

1.

5 + 10 + 15 + ... + 95 + 100 = ?;

Если первый член прогрессии равен:

a₁ = 5;

А второй член прогрессии равен:

a₂ = 10;

То шаг (разность) арифметической прогрессии составит:

d = a₂ - a₁ = 10 - 5 = 5;

Формулу номера последнего члена прогрессии можно вывести из формулы n - ого члена прогрессии:

a_n = a₁ + d * (n - 1);

a_n - a₁ = d * n - d;

a_n - a₁ + d = d * n;

n = (a_n - a₁ + d) / d;

n = (а_n - а₁ + d) / d;

n = (100 - 5 + 5) / 5 = 20;

S_n = n * (a₁ + a_n) / 2;

S₂₀ = 20 * (5 + 100) / 2 = 10 * 105 = 1 050.

Ответ: сумма 20-ти членов прогрессии равна 1 050.

2.

21 + 22 + 23 + ... + 29 + 30 = ?

Если первый член прогрессии равен:

a₁ = 21;

А второй член прогрессии равен:

a₂ = 22;

То шаг (разность) арифметической прогрессии составит:

d = a₂ - a₁ = 22 - 21 = 1;

Найдем номер последнего члена прогрессии:

n = (а_n - а₁ + d) / d;

n = (30 - 21 + 1) / 1 = 10;

S_n = n * (a₁ + a_n) / 2;

S₁₀ = 10 * (21 + 30) / 2 = 10 * 51 / 2 = 510 / 2 = 255.

Ответ: сумма 10-ти членов прогрессии равна 255.