Даны 100 чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квад-ратов не изменилась. Каждое число ещё раз увеличили на 1. Изме-нится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то на сколько?

Данные 100 чисел обозначим через а₁, а₂, ..., а₁₀₀. Тогда следующее равенство будет аналитическим описанием того факта, что когда каждое из 100 чисел увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась: (а₁) ² + (а₂) ² + ... + (а₁₀₀) ² = (а₁ + 1) ² + (а₂ + 1) ² + ... + (а₁₀₀ + 1) ². Используя формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), раскроем скобки в правой части равенства предыдущего пункта и упростим полученное равенство. Тогда, имеем: (а₁) ² + (а₂) ² + ... + (а₁₀₀) ² = (а₁) ² + 2 * а₁ + 1 + (а₂) ² + 2 * а₂ + 1 + ... + (а₁) ² + 2 * а₁₀₀ + 1 или а₁ + а₂ + ... + а₁₀₀ = - 50. Это равенство означает, что если оно справедливо для ста чисел, то сумма их квадратов не изменится, при увеличении каждого из них на 1. Переходим к вопросам, поставленным в задании и вычислим сумму квадратов чисел а₁, а₂, ..., а₁₀₀, увеличенных на 2, с учётом условия а₁ + а₂ + ... + а₁₀₀ = - 50. Имеем: (а₁ + 2) ² + (а₂ + 2) ² + ... + (а₁₀₀ + 2) ² = (а₁) ² + 4 * а₁ + 4 + (а₂) ² + 4 * а₂ + 4 + ... + (а₁₀₀) ² + 4 * а₁₀₀ + 4 = (а₁) ² + (а₂) ² + ... + (а₁₀₀) ² + 4 * (а₁ + а₂ + ... + а₁₀₀) + 400 = (а₁) ² + (а₂) ² + ... + (а₁₀₀) ² + 4 * (-50) + 400 = (а₁) ² + (а₂) ² + ... + (а₁₀₀) ² + 200.

Ответ: Да, изменится на 200.