27^ (x-2/3) - 9^ (x-1) - 2*3^ (2x-1) - 2*3^ (3x-1) = 0

27^x-2/3 - 9^x-1 - 2*3^2x-1 - 2*3^3x-1 = 0

1. Преобразуем выражение

27^x * 27 ^(-2/3) - 9^x * 9 ^(-1) - 2*3^2x * 3 ^(-1) - 2*3^3x * 3 ^(-1) = 0

(3³) ^x/27^2/3 - (3²) ^x/9 - 2 * (3²) ^x/3 - 2 * (3³) ^x / 3 = 0

(3^х) ³/9 - (3^х) ²/9 - 2 * (3^х) ²/3 - 2 * (3^х) ³ / 3 = 0

2. Пусть 3^х = а, тогда выражение приобретает вид

а³/9 - а²/9 - 2 а²/3 - 2 а³/3 = 0

3. Приводим в общему знаменателю 9.

(а³ - а² - 3 * 2 а² - 3 * 2 а³) / 9 = 0

(а³ - а² - 6 а² - 6 а³) / 9 = 0

4. Подводим подобные члены.

( - 7 а² - 5 а³) / 9 = 0

5. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

9 не равен нулю.

- 7 а² - 5 а³ = 0

-а² (7 + 5 а) = 0

-а² = 0, а² = 0, а = 0

или 7 + 5 а = 0, 5 а = - 7, а = - 7/5

6. Возвращаемся к замене.

3^х = а

3^х = 0 (не может быть)

3^х = - 7/5 (не может быть)

Ответ: нет корней.