Футбольное поле в форме прямоугольника, длина которого в 3 раза больше ширины, окружено со всех сторон дорожкой одинаковой ширины. Разность между длиной наружной и внутренней границ дорожки составляет 40 м, а площадь дорожки равна 2100 м2. Определите площадь футбольного поля (в м2).

Запишем периметр футбольного поля как Р1.

Внешний периметр запишем как Р2.

Поскольку длина больше ширины в 3 раза получим:

х - ширина.

3 * х - длина.

Ширина дорожки будет равна у.

Поскольку внешний периметр больше внутреннего на 40 метров, получим:

P1 + 40 = P2.

P1 = x + x + 3 * x + 3 * x = 8 * x.

P2 = 8 * x + 40.

Выражаем Р2 через ширину дорожки.

P2 = (3 * x + 2 * y + x + 2 * y) * 2 = 8 * x + 8 * y.

Подставляем значение в предыдущую формулу.

8 * x + 40 = 8 * x + 8 * y.

40 = 8 * y.

у = 40 / 8.

у = 5 метров (ширина дорожки).

Площадь поля будет равна:

S1 = x * 3 * x = 3 * x^2.

Внешняя площадь составит:

S2 = (3 * x + 2 * y) * (x + 2 * y) = 3 * x^2 + 8 * xy + 4 * y^2.

Поскольку внешняя площадь поля на 2100 метров больше площади футбольного поля, получим:

S1 + 2100 = S2

Подставляем значение S1 в формулу S2.

3 * x^2 + 2100 = 3 * x^2 + 8 * xy + 4 * y^2.

Получим:

2100 = 8 * xy + 4 * y^2.

Подставляем вместо у значение ширины дорожки.

Получим:

2100 = 8 * x * 5 + 4 * 5^2.

2100 = 40 * x + 100.

2000 = 40 * x.

х = 2000 / 40.

х = 50 метров. (Ширина поля.)

Подставляем все известные значения в формулу S1.

S1 = 3 * x^2 = 3 * 50^2 = 3 * 2500 = 7500 м^2.

Ответ:

Площадь футбольного поля равна 7500 м^2.