5^{2x} - 6·5^{x} + 5=0

5^2x - 6 * 5^x + 5 = 0.

Введем новую переменную, пусть 5^x = а. Получается квадратное уравнение:

а² - 6 а + 5 = 0.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = b² - 4ac = (-6) ² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16 (√D = 4);

x = (-b ±√D) / 2a.

а₁ = (6 - 4) / 2 = 2/2 = 1.

а₂ = (6 + 4) / 2 = 10/2 = 5.

Возвращаемся к замене 5^x = а:

а = 1; 5^x = 1; 5^x = 5⁰ (любое число в нулевой степени равно единице); х = 0.

а = 5; 5^x = 5; 5^x = 5¹; х = 1.

Ответ: корни уравнения равны 0 и 1.